Перечень  практических   работ   по
дисциплине  ЕН 01  «Математика»
специальность:  Механизация  сельского  хозяйства

Практическая  работа   № 1. Тема:  Вычисление  пределов   функции  в  точке       
                                                             и  на  бесконечности.               
Практическая  работа   № 2. Тема:  Применение  производной  при  построе-
                                                             нии  графиков  функций.
Практическая  работа   № 3. Тема:  Методы  вычисления определенных  ин- тегралов.
Практическая  работа   № 4. Тема:  Приложения  определенного  интеграла  
                                                             для  вычисления  площадей  плоских  фи-
                                                             гур  и   объемов  тел  вращения.
Практическая  работа   № 5. Тема: Вычисление  определителей  II  и III по-рядка.  
Практическая  работа   № 6. Тема: Вычисление  определителей  n – го  поряд-
                                                            ка.
Практическая  работа   № 7. Тема: Системы  линейных  алгебраических  урав-
                                                            нений.  Метод  Крамера.
Практическая  работа   № 8. Тема: Система  линейных  алгебраических  урав-
                                                            нений.  Методом  Гаусса.
Практическая  работа   № 9. Тема: Решение систем  линейных алгебраичес-   
                                                             ких  уравнений  при  помощи  обратной    
                                                         матрицы.
Практическая  работа   № 10. Тема: Решение  комбинаторных  задач.

Практическая работа № 1

Тема:  Вычисление  пределов  в  точке и на бесконечности.

Цель:   1.  Отрабатывать  вычислительные  навыки  по  вычислению  преде-
                   лов.
2.  Развивать  математическую  речь  и  память.
3.   Способствовать  воспитанию,  прилежания  и  аккуратности.

Оборудование:  Инструкционное   задание.     

Пояснение к заданию:

1.  Предел  функции  в  точке:  
      а)  если  f  ( х )  многочлен,  то  lim  f ( x)  = f  ( x0 )
                                                          х →х0
                                                                                                  f ( x)        f  ( x0 )
         б)  если  g (x0)   ≠ 0 ,     то    lim    --------  =   --------
                                                   х →х0   g (x)          g (x0)   
                                                                                               f ( x)          А
      в)  если   g (x0)  = 0     и   f ( x0 )  = А  ≠ 0   то  lim    --------  =          =  ∞
                                                                                х →х0      g (x)         0 
                                                                                  f ( x)         0   
      г)  если  g (x0)  =  0  и   f ( x0 )  =  0,  то  lim    -------  =               -  
                                                                      x →х0    g (x)         0
            
      вычисляем  разложением  на  множители  многочлены  f ( x)  и   g (x).

2. Замечательные   пределы:                  
              sin    x                                                 1
      lim  ---------  =  1                lim    (  1  +  ------  )х    = 0  
   x → 0      x                          x → ∞                 х

3.  Предел  функции  на  бесконечности:
               f ( x)         
а)  lim   --------  и  Степень числителя  равна  степени  знаменателя,  то  для   
  x → ∞  g (x)         вычисления  надо  и  числитель  и  знаменатель  разделить  
                                                                                                          1
на  переменную  в  большей  степени и  использовать   lim   -------   = 0. 
                                                                                             x → ∞   x                         

б)            f ( x)         
      lim   --------  и  степень  f ( x)  меньше  степени  g (x), то  предел  равен  0.                    
   x → ∞  g (x)        

                 f ( x)     и  степень    f ( x)   больше  степени   g (x) ,  то  предел                
в)  lim     --------        равен  ∞.  
  x → ∞   g (x)        

Задания.  
Вычислить  предел  функции:  
                 х – 2                                                                  х3  -  1
а) lim      --------                                                 б)  lim   -----------
  x → 2  √ х  +  2                                                   x → 1   х  -  1

               sin  3x                                                                  х2  - 5х  +  6 
в)  lim    ---------                                                 г)  lim    ---------------
   x → 0     4x                                                        x → 3        х  -  3  

                х3  + 5                                                                 х2  + 2х  -  6
д)  lim     --------                                                 е)  lim   -----------------
  x → ∞    х2  + 3                                                   x → ∞   2 х2  + 3х  +  4

                                                                                 -  3  
ж)  lim    ---------------                                        з)  lim     ---------------------   
   x → 3        х  -  2                                                x → 4      - 2

                             4                                                                        1
и)  lim     (  1 +  -------)х                                                            к)  lim   ( 1 +   ----- )3х     
   x → ∞                х                                               x → ∞               х   

КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ:  

1.  Понятие  пределы  функции  в  точке.
2.  Основная  теорема  о  пределах  и  ее  следствия.
3.  Вычисление  предела  функции  в  точке.  
4.  Вычисление  предела  функции  на  бесконечности.  
5.  I  и   II   замечательные   пределы.  

ЛИТЕРАТУРА.  

И.И.  Валуцэ  «Математика  для  техникумов».  

В.С.  Шипачев  «Задачник  по высшей   математике».  

Практическая   работа  № 2  
Тема:  Применение  производной  для  построения  графиков  функций.

Цель:  1.  Отрабатывать  навыки  вычисления  производной  функции  рассмотреть  ее  применение  при  исследовании  функций.
            2.  Воспитывать  аккуратность  и  внимательность.  

Оборудование:  Инструкционное задание,  линейка,  карандаш.    

Пояснение  к  заданию  

План  исследования  функции:  
1)  Найти  область  определения  функции. 
2)  Исследовать  функцию  на  четность  и  нечетность.
3)  Исследовать  на  периодичность.  
4)  Найти  критические  точки   I  рода  ( f ′  (х)  =  0 ).  
5)  Найти  интервалы  монотонности  и  экстремумы  функции.  
6)  Найти  критические  точки   II    ( f ″  (х)  =  0 ).    
7)  Найти интервалы выпуклости  и  точки  перегиба.
8)  Найти  асимптоты  графика  функции:  у =  кх  + в – наклонная  асимптота  
                     f  ( x)
       к = lim  ------- ,          в  =  lim  ( f  ( x)  - кх ) 
          х → ∞   х                      х → ∞   

        у  =  в  -  горизонтальная  асимптота,  х = а – вертикальная  асимптота,  
                                                                         если  lim    f ( x)   =  ∞
                                                                                х → а
9)  Найти  точки  пересечения  графика  функции  с  осями  координат. 
10)  Построить  график функции. 
                                   х3 
Пример:          у =  -------.      1.  Д : (  -  ∞ ;  -2)  V ( -2; 2) V  ( 2;  ∞ )   
                                х2   - 4  
                       (- x) 3            х3
2.  f (- x)  =  --------- =  -  --------  = -  f (- x)  -  нечетная   
                 (- x) 2 – 4         х2   - 4     

3.  Функция  непериодическая
               х2   (  х2   -  12)                        х2   (  х2   -  12)
4.  у′  =  -----------------  ,     у′  =  0     ---------------   =  0  →  х = 0,  х = ±  2 √3
                (  х2   -  4)2                                                ( х2   -  4)2

                     +        -          -                  -         -          + 
5.   
                     - 2√3       -2                    0               2      2√ 3    

                       8х (  х2   +  12)
6.     у″   =   0 -----------------  =  0  ,  х  =  0  
                          ( х2   -  4)3                                              

7.         -              +              -             +  
                   -2             0             2      

                                                                                        f ( x)                  х3
8.  х  = - 2      - вертикальные  асимптоты. К  =  lim  ------- =  lim ----------- =1 
     х  =   2                                                            х→ ∞    х        х→ ∞  х (х2 -4)     
                                                           х3
     в =  lim  ( f ( x)  - кх)  = lim    ( --------  -  х)  =  0        
          х→ ∞                      х→ ∞     х2 -4

      у  = х -   наклонная  асимптота.     

х	-∞;  -2 √3	-2 √3	-2 √3
   -2	-2	-2;
0	0	0; 2	2	2 √3
2	2 √3	2 √3;
∞	
f ′(х)  	+	0	     -
	-	-	0	-		-	0	+	
f  (х)  		-3√3		-
		0				3√3		
f″(х)  			-	
	+		-		+			
f (х)  			                                            	

                                                          у
                х  =  -2                                              х  = 2    
                                                                                            у  =  х

                                 -2             -1              0            1                2
                                                                                                                              х

Задания:   
      3.  Выполнить исследование  и  построить  график  функции:  
                    х 2  +  1                                                            х 2  
    а)   у  = ------------;   б)   f (х)  =  х 3  -  х;     в)  у  = ---------    
                         х                                                              х  -  3 

4. Контрольные   вопросы:  
    1.  Понятие  производной.  
    2.  Основные  правила  дифференцирования.
    3. Таблица  производных.
    4.  Производная   сложной  функции.
    5.  Схема  исследования   функций.  

5.  Задание  для  самостоятельной  работы:  
     Исследовать  и  построить  график  функции  у  =  2х3   -  6 х     

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА  №  4.
Тема:  Методы  вычисления  определенных  интегралов.
Цель:  1.Способствовать  отработке  навыков  вычисления  определенных
  интегралов.   
             2. Способствовать  развитию  памяти,  наблюдательности;  развивать 
                   умение оценивать  свои  действия.
Оборудование: инструкционное  задание;  интерактивная доска.  

Пояснение  к заданию.
1.Непосредственное  интегрирование  - применяется,  если  подынтеграль-  ную  функцию  можно  привести  к  «табличному»  виду.
  П    1  +  х cos         П       1            х cos х         П       1 
  ∫  -------------- dх    =  ∫   (  -----  +  ---------- ) dх  =  ∫    (-----  +  cos х )  dх   =  …          
П/2          х                   П / 2     х               х        П/2      х

2.Метод  подстановки  (замены  переменной)  -  применяется,  если подынтегральная  функция  является  сложной.  Путем  введения  новой  переменной  интегрирования удается  свести  заданный  интеграл  к  новому  интегралу,  который  сравнительно легко  берется  непосредственно.  
ТЕОРЕМА:  Пусть  1) функция  f (х)  не  прерывна  на отрезке  [ a ;   в ]  ; 
                       2)  функция  х =  y  ( t )  имеет  непрерывную  производную  на  отрезке  [  α ; β ]  ;
                       3)  множеством  значений  функции  х  =  y  ( t )  является  отрезок  
                         [ a ;   в ] ;  
                       4)   y (α )  =  а    и  y  ( β)  =  в.
                        Тогда  справедлива  формула:    
                           в                         β
                          ∫   f ( х ) dх  =    ∫   f (y  ( t ) )  ∙  yʹ ( t ) dt.   
                          а                        α

                    4
Пример:  ∫      3 х ∙ √  х 2 – 7  dх  =   х 2 – 7  = t           α  =  (  2 √ 2 ) 2   -  7  = 1 
                2 √ 2                                 d (х 2 – 7 ) =dt         β  =  42 -7 = 9                               =  
                                                              2х dх  =  dt   
                                                                         dt.   
                                                              dх  = -----   
                                                                         2х  
     9                  dt      9                                     9               9                  
=  ∫  3х  ∙ √t  -----  =   ∫     t ½   dt  =                  =  √ t3               =  √ 93   -   √  1  = 26
    1                  2х      1                                     1               1                  

3.  Метод  интегрирования  по  частям:  Пусть  функции  υ ( х) и  ν ( х )  имеют  непрерывные  производные  на  [ a ;   в ] ,  тогда   (υ ν)ʹ = υʹν  + νʹ υ  в  пределах  от  а  до  в  
                          в                           в                      в
                          ∫    (υ ν)ʹ dх  =    ∫   υʹν  dх   +   ∫    νʹυ dх.   
                          а                          а                      а 
                                                                  в                              в
По  формуле  Ньютона  -  Лейбница:    ∫  (υ ν)ʹ dх  = υ ν     
                                                                 а                               а 
 в                           в        в                                ,  тогда
 ∫    υ d ν  =   υ ∙ ν              -   ∫     ν  d  υ                  
 а                           а        а                       -   формула  интегрирования  по  частям.

При  вычислении  этим  методом  главным   является  разумное  разбиение  подынтегрального  выражения  на  множители .
                                     α                            α                                    α                                       
1.В интегралах  вида   ∫   р ( х )  еах   dх  ;    ∫  р ( х )  sin ах  dх  ;   ∫ р ( х ) соs ах  dх  
                                  с                                с                                    с 

где Р (х) - многочлен, полагают υ = Р ( х ) , все остальное  α ν.                                                                           
                                       α                               α                                 
2.В интегралах  вида   ∫  Р ( х )  ℓn ах  dх ;   ∫   Р ( х )  αrcsin  ах  dх ;
                                    с                                  с
α                                        α                                     α                                               
∫  Р ( х )  αrесоs ах dх ;  ∫  Р ( х )  αrсtg  ах dх ;  ∫   Р ( х )  αrссtg  ах dх.
с                                        с                                       с

полагают  Р ( х )  dх  =  d ν,  а  остальные  множители  за  υ.
                                      α                            α                                 
3.В  интегралах вида  ∫    еах  sin  вx  dх ;   ∫   еах  соs   вx  dх,  где  а, в – числа,  
                                     с                             с

за  υ  можно  принять любую  из  функций  соs   вx    или  sin  вx .
                 1                             υ  =  х         ех  dх   =  d ν                   1        1      
Пример:    ∫  х е х  dх   =                           ∫ d ν = ∫  ех  dх        =  х ∙ ех           -   ∫ ех  dх  =               0                                                                                                0
                                               d υ  = dх      ν  =  ех   +  с                     0              
                    1
=  1е1   -  ех                 =  е  -  е  +  1 =  0  +  1  =  1   
                                 0

3. Задания.  
     Вычислить  определенный  интеграл:  
             1/3  dх                                                           0
1)	   ∫    ------  ;                                                 2)  ∫  ( 2 х 4  +  х 5  )  dх.
2	    х2                                                                                                 -1

             П            х                                                      2
3)	 ∫   3  соs  ---- dх ;                                      4)    ∫   ( х 2  -  3 х + 7 )   dх.                              
0                2                                                   -1

          п/4                                                                        П
       5) ∫  соs 2х dх ;                                               6)    ∫   sin  2x dх 
0                                                                         П/2

             4             √ х                                                - 4         d х
         7) ∫   ( х +  ----- )  dх;                                      8) ∫    ---------
             1                х                                                   0    √ ( 1 – 2х) 3  

                 1                                                                П /2   х dх
          9)  ∫   х  е-х   dх;                                        10)    ∫    -----------                        
               0                                                                  П / 6   sin 2  x

                  П                                                                П /2
          11)  ∫    ех ∙ sin  х dх;                                 12)    ∫    ех ∙ соs  х dх;                                 
                  0                                                                0

и  проверить  полученные  данные  через  интернет  ресурсы.

4. Контрольные  вопросы:
      1. Таблица  основных  формул  интегрирования  .
      2.Метод подставки.
      3.Метод  интегрирования  по  частям  

5. Задание  для  самостоятельной  работы:  
     И.И.  Валуцэ   «Математика  для  техникумов».   $  50  стр. 283  № 9.17; №   9.36.  

Практическая  работа  №  5.
Тема:  Приложение   определенного  интеграла   для  вычисления  площадей плоских  фигур  и объемов  тел  вращения.
Цель: 1.Способствовать  отработке  навыков  вычисления  площадей  плоских  фигур,  объемов  тел  вращения.
            2.Способствовать  развитию  пространственного  мышления.
            3. Стремиться  к воспитанию  чувства   ответственности,  аккуратности.

Оборудование: инструкционное  задание,  чертежные  принадлежности.

Пояснение  к заданию:  
I.Вычисление  площадей  плоских  фигур.  
 1) Если  фигура  ограничена   графиком непрерывной  и  неотрицательной  на отрезке   [ а ; в ] ;   (  а   <  в)   функции   у  =  f ( х ) ;  осью  ОХ  и  прямыми  
х =  а,  х = в,  то  площадь  вычисляется  по  формуле:  

                                                             S  =           

2)  Если  фигура  ограничена  графиком  непрерывной  и неположительной  функции  на  отрезке [ а ;  в ]  функции  у  =  f ( х ) ;  осью  ОХ  и  прямыми  
х =  а,  х = в,  то  площадь  вычисляется  по  формуле:  

                                                             S  = -            

 3) Если фигура ограничена  графиком  двух  непрерывных  на отрезке [ а ;  в ]  функций  f ( х )  и g  ( х )  и  прямыми    х =  а,  х = в,  где   f ( х )   ≥  g  ( х )  
 и  а  ≤   х  ≤  в,   то  площадь    вычисляется  по  формуле:  

S  =  

Алгоритм  вычисления  площади  плоской  фигуры:  
1)Построить  данную  фигуру;  
2)Найти  пределы  интегрирования;  
3) Составить  и вычислить  определенный  интеграл;  
4) Проанализировать  ответ.  

II. Вычисление  объемов  тел вращения  

1)	 Для  того,  чтобы    вычислить  объем  V  тела,  образованного  вращением  вокруг  оси  ох  фигуры,  ограниченной  линиями  у  =  f ( х ),  
у = о,   х = а,     х = в   используют  формулу:  

                                                             V  =   π           

2)	Для  того,  чтобы  вычислить  объем  V  тела,  образованного  вращением  вокруг оси  ОУ  фигуры, ограниченной  линиями  х  =  g  ( у),   
х = 0,  у = с,  у  =      используют  формулу:  

                                                             V  =   π      

Состав  и  последовательность  выполнения  работы.

1.Вычислить  площадь  фигуры,  ограниченной  линиями  у = х 2 + 4 х, 
 у = х + 4.  

2.Вычислить  объем  тела  образованного  вращением   у = 4 - х 2 ,  у = 0,  х  = 0,  
    Х  ≥  0.  
                              а)  вокруг  оси  ох; 
                              б)  вокруг  оси  оу.

Контрольные   вопросы:  

1.Алгоритм  вычисления  площади  плоских  фигур.

2.Вычисление  объемов  тел  вращения.

Задания  для  самостоятельной  работы:  

И.И. Валуцэ     § 52;      § 53.

Практическая  работа  №  6.
Тема:  Вычисление  определителей  II  и   III   порядка.
Цель:  1. Способствовать  отработке  вычислительных  навыков.
             2.Развивать  умение  работать  по образцу.
             3.Стремиться  к  воспитанию чувства  ответственности,  добросовестности.
Оборудование:  инструкционное  задание.

Пояснение   к  заданию.

Определение:  Под  определителем   II   порядка  понимают  выражение  вида:  
                                =       -         

Определение:  Под  определителем  III  порядка   понимают  выражение  вида:  
                            =    ∙       -    ∙     +    ∙  

            ∙                        

Свойства  определителей:  

1.Определитель  не  меняется  при  транспонировании.
2.Если  одна  из строк  определителя  состоит  из нулей,  то  определитель  равен  нулю.
3.Если  в определителе переставить  две  строки,  определитель  поменяет  знак.
4.Определитель,  содержащий  две  одинаковые  строки,  равен  нулю.
5.Если  все  элементы  некоторой  строки определителя  умножить  на некоторое  число  k,  то  сам  определитель умножиться  на  k.
6.  Определитель,  содержащий  две  пропорциональные  строки,  равен  нулю.
7.Если  все элементы  i –  й  строки  определителя  представлены  в виде  суммы  двух  слагаемых  аij =  b j   +  c j  ( j =  1, n  ),  то  определитель  равен  сумме  определителей,  у  которых  все  строки,  кроме   i -  ой,  -  такие  же,  как в заданном  определителе,   а   i-  я     строка  в одном  из  слагаемых  состоит  из  элементов  b j ,  в другом  -  из  элементов   c j  .  
  8.  Определитель  не меняется,  если  к элементам  одной  из его  строк  прибавляются  соответствующие  элементы  другой  строки,  умноженные  на одно  и то  же  число.

Замечание.  Все  свойства  остаются  справедливыми,  если  вместо  строк  взять  столбцы.

Состав  и последовательность
Выполнения  работы.

1.Вычислить  определитель:  

     а)         ;       б)      ;        в)          г)         ;   

     д)     ;     е)                              

2.Решить  уравнение.

а)          =  0   ;                  б)              = 0 

Контрольные  вопросы:  

1.Что называют определителем   II  порядка?  
2.Что  называют  определителем   III  порядка?  
3.Сформулируйте  свойства  определителей.

Задания  для  самостоятельной  работы.

В.П.  Григорьев   стр.  17 – 20.

Практическая   работа  №  7.
Тема:  Вычисление  определителей   п – го  порядка.
Цель:  1. Способствовать  отработке  вычислительных  навыков.
             2.Развивать  умение  работать  по образцу.
             3.Стремиться  к  воспитанию чувства  ответственности,  добросовестности.
Оборудование:  инструкционное  задание.

Пояснение   к  заданию.

Определение:  Под  определителем   II   порядка  понимают  выражение  вида:  
                                =       -         

Определение:  Под  определителем  III  порядка   понимают  выражение  вида:  
                            =    ∙       -    ∙     +    ∙  

            ∙                        

Свойства  определителей:  

1.Определитель  не  меняется  при  транспонировании.
2.Если  одна  из строк  определителя  состоит  из нулей,  то  определитель  равен  нулю.
3.Если  в определителе переставить  две  строки,  определитель  поменяет  знак.
4.Определитель,  содержащий  две  одинаковые  строки,  равен  нулю.
5.Если  все  элементы  некоторой  строки определителя  умножить  на некоторое  число  k,  то  сам  определитель умножиться  на  k.
6.  Определитель,  содержащий  две  пропорциональные  строки,  равен  нулю.
7.Если  все элементы  i –  й  строки  определителя  представлены  в виде  суммы  двух  слагаемых  аij =  b j   +  c j  ( j =  1, n  ),  то  определитель  равен  сумме  определителей,  у  которых  все  строки,  кроме   i -  ой,  -  такие  же,  как в заданном  определителе,   а   i-  я     строка  в одном  из  слагаемых  состоит  из  элементов  b j ,  в другом  -  из  элементов   c j  .  
  8.  Определитель  не меняется,  если  к элементам  одной  из его  строк  прибавляются  соответствующие  элементы  другой  строки,  умноженные  на одно  и то  же  число.

Замечание.  Все  свойства  остаются  справедливыми,  если  вместо  строк  взять  столбцы.
Определитель  п – го  порядка равен  сумме  парных  произведений  элементов какого  - либо  ряда  ( строки  или  столбца)  его  на их  алгебраические  дополнения.

Состав  и последовательность  выполнения  работы.

I .Вычислить  определитель:
1.
а)       ;             б)            ;            в)                     

2.
 
а)              ;     б)           ;      в)                  

3.

а)    1       2      3       4                           б)      2      3       -1      2 
       2       3      4       1                                     1     -1        2      3  
       3       4      1       2      ;                             3       1       -2     2 
       4       1      2      3                                    -2       1        1      2       

4.

а).    2    -1     3     1     -4                      б)       1    2    3     0     0 
        1    -2      1     2     -1                               -1    2   -1     0    0
      -3       0     2     1     -2      ;                         2    0    1     4     5        =  - 16 
       -1      2     3     0      4                                1    0    4      2    3 
        1      3    -2   -1       0                               0     2    1      2    3 

II.  Решить  уравнение:  

а)                =  0   ;                 б)            = 0 

Контрольные  вопросы:

1.Определители   II   и   III   порядка,  их  свойства.

2.Минор  элемента определителя.

3.Алгебраическое  дополнение  элемента  определителя.

4.Вычисление  определителя  разложением  по  строке.

Литература.

1.	А.В.  Кузнецов  «Сборник  задач   и  упражнений  по высшей  математике».
2.	И.И.  Валуцэ.  «Математика  для  техникумов».

Практическая   работа  8,9,10
Тема:  Системы  линейных алгебраических  уравнений.  
              Методы  решений.
Цель:  1.Научить  решать  системы  трех  линейных  уравнений.
             2.Способствовать  развитию  умения  анализировать  и  сравнивать.
Оборудование:  инструкционные  задания.

Пояснение  к заданию.

α1  х  +  в1 у   +  с1 z  =  d 1  , 
α 2  х  +  в2 у   +  с2 z  =  d 2  ,                                 (  1  ) 
α 3  х  +  в3 у   +  с3 z  =  d 3  , 

Рассмотрим методы  решения  системы  (  1  ):  

I.Метод   Крамера:  Для  того,  чтобы  система  ( 1 )  имела  единственное  решение  необходимо  и  достаточно,  чтобы  ее  определитель  был  отличен  от нуля,  т.е.

             ∆  =           ≠  0

При  этом  условии  таким  единственным  решением  системы  является  следующие  числа:  

х  =    ,     у =    ,     z  =    ,  где  

∆х  =        ,       ∆у  =           ,     ∆ z  =    
      
Если  определитель  системы  равен  нулю,  а  хотя  бы  один  из  определите-
лей  неизвестных  отличен   от  нуля  то  система  не  имеет  решений  или   же  равны  нулю  как  определитель  системы,  так  и каждый  из  определителей  неизвестных,  то  система  имеет  бесконечное  множество  решений.    
Пример: 
                      х +  у  +  z  =  4,
                      х  +  2у  +  3z  =  7,  
                      х   +  у   +  5z  =  8.

∆  =           = 4  ≠  0,

∆у  =          =  8;    ∆з  =       = 4 ;  ∆z  =         = 4

Таким  образом:  х  =   - 2   ;   у =    = 1 ;    z  =    =  1.

Ответ :  ( 2;  1;  1 )  

II.Метод  Гаусса :  Если  в системе  алгебраических  уравнений  к одному  из  уравнений  прибавить  другое,  умноженное  на  любое  число,  то  полученная  таким  образом  новая  система будет  эквивалентна  исходной.  
В  число  действий  по преобразованию  системы  можно  включить  такие,  как  перестановка  уравнений  и   перенумерация   неизвестных.

Пример:        х +  у  +  z  =  4,
                      х  +  2у  +  3z  =  7,  
                      х   +  у   +  5z  =  8.

Составим  матрицу  коэффициентов  системы  и  приведем  ее к  диагональному  виду:      

         1   1   1      4                           1   1   1       4
         1   2   3      7                        0   1   2       3
         1   1   5      8                           0   0   4       4

Таким  образом,  исходную  систему  можно  решать  в следующем  виде:                х + у  +    z  =  4,         х  + 1 + 1 = 4,               х  =  2, 
      у  + 2 z  =  3,         у  + 2 ∙ 1 = 3,                у =  1.
          4 z  = 4 .                  z  = 1.
Ответ:  ( 2; 1; 1 )  

III.Метод обратной  матрицы: 
Обозначим:   через  А  -  матрицу  коэффициентов, 
                                       Х  -  матрицу  - столбец  неизвестных,  
                                       Н – матрицу  -  столбец  свободных  членов.
                                                     
А =     ,                  Х  =         ,                      Н  =   

С учетом  этих обозначений  система  ( 1 )  примет  вид :   А ∙  Х  =  Н. 
Если  определитель  системы  от  нуля,    то  матрица  А  имеет  обратную матрицу   А-1  .  
Х  = А-1   ∙  Н   -  матричная  запись  решении  системы  уравнений  (  1  ).

Пример:        х +  у  +  z  =  4,
                      х  +  2у  +  3z  =7,  
                      х   +  у   +  5z  =  8.

Обозначим:     А  =          ;      Х   =             ;      Н  =       

∆ =  4  ≠  0.

2.Найдем  алгебраические  дополнение  к каждому  элементу:  

А11   =          = 7  ,    А12   =  -        =  - 2  ;    А13  =        = -  1;  
 
А21   =  -        =  - 4 ;  А22   =     = 4   ; А23   =-         =  0 ;    

А31  =   1                           А32    = -2                               А33  =1

3.Составим  союзную  матрицу:  
           =       
4.Найдем:    А- 1   =      ∙       
                                                                                                     
Х  =       ∙               ∙           =      ∙    

       =       ∙          =       

Ответ:  (  2;  1;  1 ).   

Состав и  последовательность  выполнения  работы.  
1.Решить  систему  уравнений  всеми  методами:  
   х +   2у  -    z  =  1,                       
-3х   +  у  + 2 z  =  0,                     
   х  + 4у   +3 z  = 2           
2.Задачи  для самостоятельного  решения:  
1.    2 х  -  4у  +3 z  =  1,                                     7.     х + 2у +  3 z  =    19,                                                                                                                         
          х   -  2у  + 4z  =  3,                                            х  + 4у  -  2 z  =   0,
       3 х  -    у   +5 z  =  2                                            4х +  5у  - 3 z  =  - 8  
2.    2 х  -       у  +   z  =  2,                                  8.    2х +    у  +    z     =   7,                      
       3 х   +  2у  + 2z  = - 2,                                          х +  2у  +    z     =  8,  
          х  -   2 у   +7 z  =   7.                                         х  +   у  + 2 z     =  9
3.      х    +  2 у  +  3 z  =  5,                                 9.       х +  2у  +   z  =  -7,
      2 х   -       у  -      z  =   1,                                        2х +     у  -    z  =   1, 
        х    + 3 у   + 4 z  =   6.                                           3х  -     у  + 2z  =   2  
4.       х    +   у  +      z  =  4,                                10.      х  + 2у  +  3 z  =  8,  
          х   -     у   +     z  =  0,                                          3х  +   у  +     z  =  6,
         х    +   у   -      z  =   2.                                          2х  +   у  +  2 z  =  6.
5.       х    +   2у   -    z  =  2,                                11.      х +    у  -  3 z  =    0,     
        2х   -    3у   + 2 z  =  2,                                         3х +  2у  +  2 z  =  -1,
        3х    +   у    +    z  =   8.                                         х –    у  +  5 z   =  -2  
6.       х    +   2у  +   z  =   4,                                  12.   2х +  3у  +    z    =  1, 
        3х   -    5у   + 3 z  =  1,                                            х  +   у  -  4 z   =  0,
        2х    + 7 у    -    z  =   8.                                         4х  + 5у  -  3 z    =  1.   

13.      х   - 4у  + 2 z  =  - 5,                                   16.     3х   -   у   +   4 z   =  2, 
          4х   +  у  - 3z   =   - 3,                                             х   + 2у  +   3 z    =  7,
        2х  +3у  +4z   =      1.                                         5х   + 3у  +   2 z    =  8. 
14.    3 х   - 2у  -    z   =  - 5,                                  17.     х   -  3у   +   2 z    = -4,               
            х   + 3у  + 2z   =    2,                                            2х  +    у   -    3 z    = -1  
        5х  -  2у  + 4z   = -  7.                                         х  -  2у   +   5 z    =   1  
15.   2 х   + 4у  - 3z   =   2,                                     18.      х  -    у    +      z    = -1,                   
            х   +  у  + 2z   =   0,                                               х  +   у     -      z    =   1,
          3х  - 2у  +   z   = - 5.                                       – х  +   у    +      z    =   3.

Практическая работа 11.
Тема: Решение комбинаторных задач
Цели: 
1.	Учебная: повторение понятий и формул комбинаторики, определения и свойств вероятности; совершенствование изученного материала.
2.	Развивающая: формирование умений применять приёмы анализа, сопоставления, обобщения, оформления результатов учебной деятельности; формирование важных психофизиологических качеств личности (интеллектуальных, зрительных, слуховых и т.д.).
3.	Воспитательная: воспитание культуры речи, построения плана деятельности; воспитание сознательной дисциплины и норм поведения; формирование умений осуществлять взаимосотрудничество и взаимоконтроль учебно-познавательной деятельности, учебно-практической деятельности; формирование умений осуществлять самоконтроль хода и результатов учебной деятельности.
Пояснение к заданию.
 Определение 1. Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
                                                     Рп = п!                                                      
Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить из 7 различных фамилий?
Решение. Р7 = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.
 Определение 2. Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений
Размещения без повторений: .
 Определение3.. Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний
Сочетания без повторений: . 
Состав и последовательность выполнения задания.
1. Решить задачу.
В ящике из 18 яблок находятся 4 красного цвета, остальные зелёного. Наугад берут 5 яблок. Сколько существует способов их взятия так, чтобы среди них оказалось два красного цвета?
2. Упростить: 

3. Решить задачу.
Сколькими способами можно разместить 3 иллюстрации на 10 страницах?
4. Решить задачу.
Сколькими способами можно из бригады 25 человек выбрать 4 человека для работы на определенном участке 
Классический способ определения вероятности
Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Задача 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Задача 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
Задача 4. Даны 5 точек, никакие две из которых не лежат на одной прямой. Найти 
 Задача 5. Одновременно бросаются две игральные кости, на гранях которых нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми?

Самостоятельное выполнение заданий теста

 
Задание для самостоятельной работы.
Вариант 1
1.	Вероятность того, что день будет дождливым равна 0,46. Какова вероятность того, что дождя не будет?
2.	Из слова КАЛЬКУЛЯТОР выбирается одна буква. Какова вероятность, что это буква Л?
3.	Из  карточек с буквами  С,О,И,Т,К,А,  наугад последовательно берут 5. Какова вероятность того, что получится слово «ТАКСИ»? 
4.	Колода в 36 карт делится пополам. Какова вероятность того, что все дамы будут в одной половине?
5.	Какова вероятность того, что при подбрасывании игральной кости  выпадет  не более трёх очков?
6.	 В партии из 18 деталей находится 4 бракованных. Наугад выбирается 7 деталей. Найти вероятность того, что среди взятых  деталей три окажутся стандартными.
7.	В первой урне 4 красных и 6 чёрных шаров. Во второй 5 красных и 5 чёрных шаров. Из каждой урны не глядя берут по одному шару. Какова вероятность того, что они оба красные? 
8.	Какова вероятность того, что выбранное наугад число от 32 до 100 не содержит цифры 6?

Вариант 2
1. Вероятность всхожести семени 0,67. Какова вероятность того, что семя не взойдёт?
2. Из слова КОНСПЕКТ  выбирается одна буква. Какова вероятность, что это буква К?
3. Наугад в ряд раскладываются карточки с буквами А, Г, Н, К, И. Какова вероятность того, что составится слово «КНИГА»? 
4. 10 шаров распределены по 4 ящикам. Какова вероятность того, что в первом – 1 шар, во втором – два, в третьем – 3 шара, а в четвертом - четыре? 
5. Бросают игральную кость один раз. Какова вероятность того, что выпадет число, не меньше двух? 
6 .В ящике 12 стандартных и   4 бракованных детали. Не глядя берут 6.  Найти вероятность того, что из взятых деталей  три окажутся бракованными.
7. В первой урне 7 белых и 5 чёрных шаров. Во второй 3 белых и 5 чёрных шаров. Не глядя из каждой урны берут по одному шару. Какова вероятность того, что они оба чёрного цвета?
8. Какова вероятность того, что выбранное наугад число от 11 до 63 кратно 6 ?